判断f(x)(x平方+2x+1/2)/x,x属于[1,正无穷]上的单调性并证明.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 14:49:16
判断f(x)(x平方+2x+1/2)/x,x属于[1,正无穷]上的单调性并证明.

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f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2
当x>0时,f(x)≥2√(x*1/2x)+2=√2+2
当且仅当x=1/(2x),即x=√2/2时,f(x)min=√2/2
所以 x=√2/2x2>1,则x1-x2>0,x1x2>1
则f(x1)-f(x2)=x1+1/2x1-(x2-1/2x2)
=(x1-x2)【1-1/(2x1x2)】
=(x1-x2)(2x1x2-1)/(2x1x2)>0
所以f(x1)>f(x2)
所以在【1,+∞)是单调递增的.

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