G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 08:06:39

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2
G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2
首先根据余弦定理可以写出下列三式：
GA^2+PG^2-PA^2=2GA*PG*cos角AGP
GB^2+PG^2-PB^2=2GB*PG*cos角BGP
GC^2+PG^2-PC^2=2GC*PG*cos角CGP
三式相加并与问题比较,可知原命题等价于证明：
GA*cos角AGP+GB*cos角BGP+GC*cos角CGP=0,对于任意点P成立
这个的证明需要用到重心的性质：重心三等分中线
可以选取直线PG为坐标轴,然后用余弦的定义和上述性质就可以证明了

以G为原点任意建立直角坐标系，设A(a，b)，B(c，d)，A(e，f)，P(x，y)，
则a+c+e=0，b+d+f=0，且
PA²+PB²+PC²=(x-a)²+(y-b)²+(x-c)²+(y-d)²+(x-e)²+(y-f)²
=3(x²+y²)-2...

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以G为原点任意建立直角坐标系，设A(a，b)，B(c，d)，A(e，f)，P(x，y)，
则a+c+e=0，b+d+f=0，且
PA²+PB²+PC²=(x-a)²+(y-b)²+(x-c)²+(y-d)²+(x-e)²+(y-f)²
=3(x²+y²)-2x(a+c+e)-2y(b+d+f)+a²+b²+c²+d²+e²+f²
=3PG²+GA²+GB²+GC²，
命题得证。
注：很多几何命题用这种方法证明都非常简单明了。

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