G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:22:41
G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2
G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2
首先根据余弦定理可以写出下列三式：
GA^2+PG^2-PA^2=2GA*PG*cos角AGP
GB^2+PG^2-PB^2=2GB*PG*cos角BGP
GC^2+PG^2-PC^2=2GC*PG*cos角CGP
三式相加并与问题比较,可知原命题等价于证明：
GA*cos角AGP+GB*cos角BGP+GC*cos角CGP=0,对于任意点P成立
这个的证明需要用到重心的性质：重心三等分中线
可以选取直线PG为坐标轴,然后用余弦的定义和上述性质就可以证明了.

证明：取中线BG中点M，则2(PA2+PC2)=AC2+4PE2， ①
2(PB2+PG2)=BG2+4PM2， ②
2(PE2+PM2)=ME2+4PG2， ③
①+②+③×2得：2(PA2+PB2+PC)=AC2+GB2+2ME2+6PG2
= 2GB2+6PG2+AC2+ 4GE2
=2GB2+6PG2+2GA2+2GC2．
∴ ...

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证明：取中线BG中点M，则2(PA2+PC2)=AC2+4PE2， ①
2(PB2+PG2)=BG2+4PM2， ②
2(PE2+PM2)=ME2+4PG2， ③
①+②+③×2得：2(PA2+PB2+PC)=AC2+GB2+2ME2+6PG2
= 2GB2+6PG2+AC2+ 4GE2
=2GB2+6PG2+2GA2+2GC2．
∴ PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2．
于是PA2+PB2+PC2≥GA2+GB2+GC2．等号当且仅当P与G重合时成立．

收起

在三角形ABC中,G是重心,GE//AC,三角形BGE面积为16平方厘米求三角形ABC的面积 已知G为三角形ABC的重心,O是ABC外 的一点,若P (OG)=OA+OB+OC (向量） 则P为 如图所示,三角形ABC是,G为三角形ABC重心,S三角形DEG=a的平方,求S三角形ABC和S三角形GBA的值? G为三角形ABC的重心,试说明S三角形BDG=S三角形BFG=S三角形APG 如右图,点G是三角形ABC的重心,且三角形的面积为24,则三角形ABG的面积为 在三角形ABC中,D在BC上,P为AD中点,向量CD=2向量OB,G为重心,S三角形GDP/S三角形ABC= 如图：已知G为三角形ABC的重心,求证AG=2GF已知G为三角形ABC的重心,求证AG=2GF · 如图所示,三角形ABC是,G为三角形ABC重心,S三角形DEG=a的平方,求S三角形ABC和S三角 G为三角形ABC的重心,AG=3,BG=4,CG=5,求三角形ABC的面积 G为三角形ABC的重心,AG=3,BG=4,CG=5,求三角形ABC的面积 在三角形ABC中,G为三角形ABC的重心,则向量AG+向量BG+向量CG= 已知g为三角形ABC的重心,三角形ABC所在平面内一点p满足2向量pb+2向量pc=0,则ap的模长/ag的模长等于多少?已知g为三角形ABC的重心，三角形ABC所在平面内一点p满足2向量pb+2向量pc=向量AP，则ap的模 G为三角形ABC的重心,DE\BC,且DE过点G,则S三角形AEG:S四边形DECB:S三角形ABC为多少 g为三角形abc的重心,ge平行于ac,若三角形abc的面积为36,则三角形gde的面积为多少快 已知等边三角形的边长为2,点g是三角形abc的重心,则ag=? 在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么? 如图,已知G为三角形ABC的重心,三角形ABC的三边长满足AB>BC>CA,若三角形GAB三角形G如图,已知G为三角形ABC的重心,三角形ABC的三边长满足AB>BC>CA,若三角形GAB三角形GBC三角形GCA的面积分别为S1 S2 G为三角形ABC的重心,求证:向量GA+向量GB+向量GC=0