作业帮圆锥曲线的计算的量很大,没有简单的做法可以省去部分的计算吗
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 09:54:32
圆锥曲线的计算的量很大,没有简单的做法可以省去部分的计算吗
圆锥曲线的计算的量很大,没有简单的做法可以省去部分的计算吗
圆锥曲线的计算的量很大,没有简单的做法可以省去部分的计算吗
我相信大家一定有这种感觉,在做圆锥曲线尤其是椭圆或双曲线时经常要与直线的联立方程求以下几个量,
x1+x2 ,y1+y2, x1x2, y1y2,Δ,甚至x1y2+x2y1
对于该直线过焦点等特殊点时,这些量甚至解题都会很简单,而对于这些我就不给大家说了,相信大家也记忆了不少,但是如果是一般的情况就会变得复杂,作为一个已经大二的人,这几天帮高中的表弟解题时发现他很不会这种题目,简单来说就是很难解出来,而无法解出来就失去信心解题,虽然这几个值似乎不难,但是,在实际计算时,确实会很繁琐,为此本人当年在高中时就推导了这几个值,今天贴出来给大家让大家体会一下圆锥曲线的对称美,
1：对于
x2 /m+y2 /n=1 y=kx+b 联立
首先,设r=1/mk2+n (注意,这里是m与k2相乘)
1） x1+x2= -2mkbr (注意前面有负号) y1+y2=2nbr
2） x1x2=m(b2-n)r y1y2=n(b2-mk2)r
Δ非为两种情况
1) 对于x的二次方程Δx=mn(mk2-b2+n)
2) 对于y的二次方程Δy=mn(mk2-b2+n)k2
3) x1y2+x2y1= -2mnkr (注意前面有负号)
对于弦长L= √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2- 4x1x2]
= √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
由上弦长公式发现计算复杂且与圆锥曲线的关系不明显,故由其推导可以得到椭圆及双曲线的一般弦长公式
L=√[4(1+k2)mn(mk2-b2+n)/(mk2+n)2]
=2r√Δx (1+k2)
虽然该弦长公式依然计算复杂,但是形式简单,且与上面推导的几个量存在着相同的分母1/r,而且与椭圆或双曲线的关系明显,在有些题目中可以有好的作用
1）有上可以发现对于椭圆或双曲线与直线的相交有着高度对称性,它们都是一种分数的形式,其分母均为1/r=
mk2+n,而对于两个Δ存在k2的倍数关系,联系y=kx+b可以理解这个倍数关系
2）由x1+x2,y1+y2可得,当椭圆或双曲线与直线有两个交点时存在两点连线的中点与原点的连线斜率kt=(y1+y2)/(x1+x2)= -n/mk
一般表示为k.kt= -n/m
3）而对于椭圆,当两点重合时,可以由2）得到该点与原点连线的斜率就是kt
4）特别强调大家记住x1y2+x2y1= -2mnkr,大家如果直接计算的话,这个值其实是很难算的,如果这样就会变得简单
记住以上推导式后,在解题过程中可以直接写出结果,更可以将圆锥曲线的计算转换为字母的运算,推导,可以简化中间的某些计算,减少错误概率,给大家看一个简单的例子
例：对于椭圆x2 /32+y2 /8=1 与直线相切于点（4,2）,求该直线方程?
这种题目很简单,一般是选择题或者填空题,虽然很简单,但是也是要几步,一般的解法是设该直线方程,然后与椭圆联立来解,该过程其实容易出错,但是现在利用2）或者3）可以直接得到该直线斜率k= -1/8,将（4,2）代入得到 y-2= -1/8(x-4),
整理得到直线方程y= -1/8 x+2/5,步骤简单且不易出错
虽然只是一个小题目,但是我相信大家从中看出了这种方法解题的好处,希望这种方法能帮助到大家起到一定程度简化计算的目的
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