作业帮已知圆x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0 k∈R（1）：求证：不论k为何值,圆心在同一直线上（2）：是否存在直线l被方程表示的任意圆截得的弦长为定值4√5?若存在,求出直线l的方程：若不存在,说明理
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:46:05
已知圆x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0 k∈R（1）：求证：不论k为何值,圆心在同一直线上（2）：是否存在直线l被方程表示的任意圆截得的弦长为定值4√5?若存在,求出直线l的方程：若不存在,说明理
已知圆x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0 k∈R
（1）：求证：不论k为何值,圆心在同一直线上
（2）：是否存在直线l被方程表示的任意圆截得的弦长为定值4√5?
若存在,求出直线l的方程：若不存在,说明理由
已知圆x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0 k∈R（1）：求证：不论k为何值,圆心在同一直线上（2）：是否存在直线l被方程表示的任意圆截得的弦长为定值4√5?若存在,求出直线l的方程：若不存在,说明理
1.设圆心C为（x,y）
易知x=-k,y=2k+5
消去k得：
2x+y-5=0
故不论k为何值,圆心在同一直线2x+y-5=0上
2.计算的半径r=5为定值
再经过简单计算得到
圆心到此直线的距离为√5
这样只要所求直线与2x+y-5=0平行,并且距离为√5就符合题意
显然很容易求得这样的直线为：
2x+y=0或2x+y-10=0
(1)
x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0
(x^2+2kx+k^2)+(y^2-2(2k+5)y+(2k+5)^2)=k^2+(2k+5)^2-5k^2-20k=25
(x+k)^2+(y-(2k+5))^2=25
设圆心(m,n)
则: m=-k
n=2k+5
所以:n=-2m+5
以x,y,替换以上的...
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(1)
x^2+y^2+2kx-(4k+10)y+5k^2+20k=0
(x^2+2kx+k^2)+(y^2-2(2k+5)y+(2k+5)^2)=k^2+(2k+5)^2-5k^2-20k=25
(x+k)^2+(y-(2k+5))^2=25
设圆心(m,n)
则: m=-k
n=2k+5
所以:n=-2m+5
以x,y,替换以上的m,n
则: y=-2x+5
此即圆心满足的方程,为直线方程,所以:不论k为何值，圆心在同一直线上
(2)
由(x+k)^2+(y-(2k+5))^2=25,圆的半径=5
圆心到直线l的距离=(5^2-((4√5)/2)^(1/2)=√5
直线l是与y=-2x+5平行的直线
设直线l为:y=-2x+b
y=(1/2)x与y=-2x+5,及y=-2x+b垂直,与它们的交点分别为:(2,1),(2b/5,(-4b/5)+5)
所以:((2b/5)-2)^2+((-4b/5)+5-1)^2=(4√5)^2
(b-5)^2=100
b-5=10,或b-5=-10
b=15,或b=-5
直线l的方程：y=-2x+15,或y=-2x-5
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