已知x1+x2+x3=1,证明x1＾2+x2＾2+x3＾2>=1/3

已知x1+x2+x3=1,证明x1＾2+x2＾2+x3＾2>=1/3
已知x1+x2+x3=1,证明x1＾2+x2＾2+x3＾2>=1/3

已知x1+x2+x3=1,证明x1＾2+x2＾2+x3＾2>=1/3
(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x3-x1)^2
=2(x1^2+x2^+x3^2)-2(x1x2+x2x3+x1x3)
>=0.
3(x1^2+x2^2+x3^2)
=(x1^2+x2^2+x3^2)+2(x1^2+x2^2+x3^2)
>=x1^2+x2^2+x3^2+2(x1x2+x2x3+x1x3)
=(x1+x2+x3)^2
=1
x1^2+x2^2+x3^2>=1/3

学过柯西不等式？
（x1＾2+x2＾2+x3＾2）（1^2+1^2+1^2)>=(x1+x2+x3)^2 (x1,x2,x3>0)
得x1＾2+x2＾2+x3＾2>=1/3。
否则的话比较麻烦，打不下了。。。

即证明3x1^2+3x2^2+3x3^2>=1
即x1^2+x2^2+x3^2+(x1+x2)^2-2x1x2+(x1+x3)^2-2x1x3+(x2+x3)^2-2x2x3>=1
(x1+x2+x3)^2=1即2x1x2+2x2x3+2x1x3=1-x1^2-x2^2-x3^2
带入（x1+x2)^2+。。。+1>=1
由于3个平方和+1必>=1