在数列an中a1=3 a(n+1)=3an+3^(n+1)(1)设bn=an/3^n 证明:数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的前n项和Sn.第一个(n+1)是下标

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 20:41:19
在数列an中a1=3 a(n+1)=3an+3^(n+1)(1)设bn=an/3^n 证明:数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的前n项和Sn.第一个(n+1)是下标

在数列an中a1=3 a(n+1)=3an+3^(n+1)(1)设bn=an/3^n 证明:数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的前n项和Sn.第一个(n+1)是下标
在数列an中a1=3 a(n+1)=3an+3^(n+1)
(1)设bn=an/3^n 证明:数列{bn}是等差数列
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
第一个(n+1)是下标

在数列an中a1=3 a(n+1)=3an+3^(n+1)(1)设bn=an/3^n 证明:数列{bn}是等差数列(2)求数列{an}的前n项和Sn.第一个(n+1)是下标
(1)
证明:
a(n+1)=3an+3^(n+1)
a(n+1)/3^(n+1)=an/3^n+1
b1=a1/3^1=3/3=1
b(n+1)=bn+1
得证
(2)
bn=n
an=n*3^n
Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+……+n*3^n
3Sn=1*3^2+2*3^3+……+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
2Sn=n*3^(n+1)-(3+3^2+3^3+……+3^n)
Sn=n*3^(n+1)/2-3^(n+1)/4-3/4

(1) b(n+1)-bn=a(n+1)/3^(n+1)-an/3^n
把a(n+1)=3an+3^(n+1)
代入
b(n+1)-bn=(3an+3^(n+1)-3an)/3^(n+1)
=1
所以 数列{bn}是等差数列

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(1) b(n+1)-bn=a(n+1)/3^(n+1)-an/3^n
把a(n+1)=3an+3^(n+1)
代入
b(n+1)-bn=(3an+3^(n+1)-3an)/3^(n+1)
=1
所以 数列{bn}是等差数列
(2)b1=a1/3=1
公差d=1
所以 bn=1+(n-1)*1=n
又bn=an/3^n
所以 an/3^n=n
所以an=n*3^n
Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+……+n*3^n................A
3Sn=1*3^2+2*3^3+……+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)。。。B
B-A得 2Sn=-3-(3^2+3^3+.......+3^n)+n*3^(n+1)
2sn=-3-(3^2*(1-3^(n-1))/(1-3))+n*3^(n+1)
化简 得 2sn=(n-1/2)*3^(n+1)+3/2
故 sn(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4

收起