已知a,b,c属于R*,且a+b+c=1,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)大于等于9/2 用均值不等式做

已知a,b,c属于R*,且a+b+c=1,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)大于等于9/2 用均值不等式做
已知a,b,c属于R*,且a+b+c=1,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)大于等于9/2 用均值不等式做

已知a,b,c属于R*,且a+b+c=1,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)大于等于9/2 用均值不等式做
∵2/（a＋b）＋2/（b＋c）＋2/（c＋a）
＝［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］/（a＋b）
　　＋［（b＋c）＋（a＋b）＋（c＋a）］/（b＋c）
　　＋［（c＋a）＋（a＋b）＋（b＋c）］/（c＋a）
＝1＋（b＋c）/（a＋b）＋（c＋a）/（a＋b）
　　＋1＋（a＋b）/（b＋c）＋（c＋a）/（b＋c）
　　＋1＋（a＋b）/（c＋a）＋（b＋c）/（c＋a）
＝3＋［（b＋c）/（a＋b）＋（a＋b）/（b＋c）］
　　＋［（c＋a）/（a＋b）＋（a＋b）/（c＋a）］
　　＋［（c＋a）/（b＋c）＋（b＋c）/（c＋a）］
而（b＋c）/（a＋b）＋（a＋b）/（b＋c）≥2,
　（c＋a）/（a＋b）＋（a＋b）/（c＋a）≥2,
　（c＋a）/（b＋c）＋（b＋c）/（c＋a）≥2,
∴2/（a＋b）＋2/（b＋c）＋2/（c＋a）≥3＋2＋2＋2＝9,
∴1/（a＋b）＋1/（b＋c）＋1/（c＋a）≥9/2.
注：本题用柯西不等式证明较简明.

建议你用柯西不等式，
[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]×[a+b+b+c+c+a]≥﹙1+1+1﹚²=9
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)≥9/2