已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH垂直于MN于点H.（1）如图1,当角MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系：——（2）如图2,当角MAN

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 05:17:14

已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH垂直于MN于点H.（1）如图1,当角MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系：——（2）如图2,当角MAN
已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH垂直于MN于点H.
（1）如图1,当角MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系：——
（2）如图2,当角MAN绕点A旋转到BM≠ DN时,（1）中的发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请证明；
（3）如图3,已知角MAN=45°,AH垂直于MN与点H,且MN=2,NH=3,求AH的长,(可利用（2）的结论）

已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC于点M、N,AH垂直于MN于点H.（1）如图1,当角MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系：——（2）如图2,当角MAN
1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论.　　∵AM＝AN、AH⊥MN,　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2.　　∵ABCD是正方形,　∴∠BAD＝90°,而∠MAN＝45°,　∴∠BAM＋∠DAN＝45°.　　∵ABCD是正方形,　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD,又AM＝AN,　∴△ABM≌△ADN,　　∴∠BAM＝∠DAN,而∠BAM＋∠DAN＝45°,　∴∠BAM＝45°/2.　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°,得：△ABM≌△AHM,　　∴AB＝AH.
2、通过证明AM平分∠BMH,然后由角平分线性质得出结论.　　∵ABCD是正方形,　∴∠BAD＝90°,而∠MAN＝45°,　∴∠BAM＋∠DAN＝45°.　　∵ABCD是正方形,　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD,又AM＝AN,　∴△ABM≌△ADN,　　∴∠BAM＝∠DAN,而∠BAM＋∠DAN＝45°,　∴∠BAM＝45°/2.　　∴∠AMB＝90°－45°/2.　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN,　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2.　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2,AB⊥BM、AH⊥HM,　∴AB＝AH.
3、通过第二个问题的方法得出结论.［此处略］第二个问题：延长MB至E,使BE＝DN.∵ABCD是正方形,　∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADN＝90°,又BE＝DN,　∴△ABE≌△ADN,∴AE＝AN、∠BAE＝∠DAN.∵ABCD是正方形,　∴∠BAD＝90°,又∠MAN＝45°,　∴∠BAM＋∠DAN＝45°,∴∠BAM＋∠BAE＝45°,　∴∠MAE＝45°.由AE＝AN、AM＝AM、∠MAE＝∠MAN＝45°,得：△MAE≌△MAN,　∴AB＝AH（对应高）.
第三个问题：由锐角三角函数定义,有：tan∠MAH＝MH/AH＝2/AH、　tan∠NAH＝NH/AH＝3/AH.而∠MAN＝∠MAH＋∠NAH＝45°,　∴tan（∠MAH＋∠NAH）＝1,∴（tan∠MAH＋tan∠NAH）/（1－tan∠MAH·tan∠NAH）＝1,∴tan∠MAH＋tan∠NAH＝1－tan∠MAH·tan∠NAH,∴2/AH＋3/AH＝1－（2/AH）（3/AH）,　∴5AH＝AH^2－6,　∴AH^2－5AH－6＝0,∴（AH－6）（AH＋1）＝0.显然有：AH＋1＞0,　∴AH＝6..

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1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论。　　∵AM＝AN、AH⊥MN，　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2。　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN，　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°，得：△ABM≌△AHM，　　∴AB＝AH。
2、通过证明AM平分∠BMH，然后由角平分线性质得出结论。　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN，　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。　　∴∠AMB＝90°－45°/2。　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN，　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2。　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2，AB⊥BM、AH⊥HM，　∴AB＝AH。
3、通过第二个问题的方法得出结论。［此处略］第二个问题：延长MB至E，使BE＝DN。 ∵ABCD是正方形，　∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADN＝90°，又BE＝DN，　∴△ABE≌△ADN， ∴AE＝AN、∠BAE＝∠DAN。 ∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，又∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＋∠BAE＝45°，　∴∠MAE＝45°。由AE＝AN、AM＝AM、∠MAE＝∠MAN＝45°，得：△MAE≌△MAN，　∴AB＝AH（对应高）。
第三个问题：由锐角三角函数定义，有：tan∠MAH＝MH/AH＝2/AH、　tan∠NAH＝NH/AH＝3/AH。而∠MAN＝∠MAH＋∠NAH＝45°，　∴tan（∠MAH＋∠NAH）＝1， ∴（tan∠MAH＋tan∠NAH）/（1－tan∠MAH·tan∠NAH）＝1， ∴tan∠MAH＋tan∠NAH＝1－tan∠MAH·tan∠NAH， ∴2/AH＋3/AH＝1－（2/AH）（3/AH），　∴5AH＝AH^2－6，　∴AH^2－5AH－6＝0， ∴（AH－6）（AH＋1）＝0。显然有：AH＋1＞0，　∴AH＝6。

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