已知数列｛an｝中,an=1+1/2+1/3+...+1/n,记sn=a1+a2+...+an用数学归纳法证明sn=(n+1)an-n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/16 17:25:15

已知数列｛an｝中,an=1+1/2+1/3+...+1/n,记sn=a1+a2+...+an用数学归纳法证明sn=(n+1)an-n
已知数列｛an｝中,an=1+1/2+1/3+...+1/n,记sn=a1+a2+...+an用数学归纳法证明sn=(n+1)an-n

已知数列｛an｝中,an=1+1/2+1/3+...+1/n,记sn=a1+a2+...+an用数学归纳法证明sn=(n+1)an-n
(1) 当n=1时
S1=(1+1)a1-1
=2a1-1
=2-1
=1
∴当n=1时sn=(n+1)an-n成立
(2)假设n=k时sn=(n+1)an-n成立
即有 Sk=(k+1)ak-k
Sk+1=1+1/2+1/3+...+1/k+1/(k+1)
=Sk+1/(k+1)
=(k+1)ak-k+1/(k+1)
=(k+1)/k-k+1/(k+1)
=1+1/k-k+1/(k+1)
=(k+2)/(k+1)-(k+1)
=(k+2)ak+1-(k+1)
即当n=k+1时 Sk+1=(k+2)ak+1-(k+1) 成立
综上所述,当n∈N* 时有sn=(n+1)an-n 成立

(i)当n=1时，左边=a1=1，右边=(1+1)a1-1=1 等式成立
(ii)假设当n=k(k属于N*,k>=1)时等式成立
即 sk=(k+1)ak-k
当n=k+1时 ak+1=ak+1/(1+k)
sk+1=sk+ak+1=(k+1)ak-k+ak+1
=(k+1...

全部展开

(i)当n=1时，左边=a1=1，右边=(1+1)a1-1=1 等式成立
(ii)假设当n=k(k属于N*,k>=1)时等式成立
即 sk=(k+1)ak-k
当n=k+1时 ak+1=ak+1/(1+k)
sk+1=sk+ak+1=(k+1)ak-k+ak+1
=(k+1+1)ak+1-k-(k+1)/(k+1)
=(k+1+1)ak+1-k-1
等式也成立
根据(i)(ii)可以断定sn=(n+1)an-n对于n属于N*都成立

收起

已知数列{an}中,a1=1/2,an+1+3an=0,an=( ) 在数列｛an}中,已知an+1^2-an^2=an+1+an,其中an>0,.求证：数列｛an｝是等差数列.急 “已知数列{an}中,an>0,Sn是数列{An}中的前n项和,且An+1/An=2Sn”An>0,求An 关于数列 ..已知数列{An}中A1=1且An+1=2An+1求 An 已知数列｛an}中a1=2,an+1-an=3n,求数列｛an}的通项公式. 已知数列an中,a1=2,an+1=an/1+3an,求通项公式an 已知数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1.证明数列an+an+1是等比数列已知数列{an}中,a1=2,anan+1+an+1=2an已知数列{an}中,a1=2,an*(an+1)+(an+1)=2an 求{an}的通项公式已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求通项公式已知数列{an}中,a1=1,a1a2a3……an=n^2,求an 已知数列{an中}a1=3.且an+1=an+2的n次方数列an中已知a1=3,且2an=SnSn-1,求通项公式an 已知数列｛an｝中,a(n+1)=an+2^n,a1=3,求an 已知数列an中,an>0,且3(an+1)^2=an(an-2an+1),a1=1,求证{an} 成等比,求通项公式已知数列{an}中满足(An+1-An)(An+1+An)=16,且a1=1,an 已知数列｛an｝中,an=n/n+1,判断数列｛an｝的增减性已知数列{an}中a1=1,an+1=3an/an +3,求通项公式已知数列{an}中,a1=1,an+1=100an²,求通项an