如图,在三角形ABC中,角ACB是直角,角B=60度,AD,CE分别是角BAC,角BCA的平分线,AD与CE相交于点F,FG垂直于AB,FH垂直于BC,垂足分别为G,H.求证:FE=FD.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 02:25:41

如图,在三角形ABC中,角ACB是直角,角B=60度,AD,CE分别是角BAC,角BCA的平分线,AD与CE相交于点F,FG垂直于AB,FH垂直于BC,垂足分别为G,H.求证:FE=FD.
如图,在三角形ABC中,角ACB是直角,角B=60度,AD,CE分别是角BAC,角BCA的平分线,AD与CE相交于点F,FG垂直于AB,FH垂直于BC,垂足分别为G,H.求证:FE=FD.

如图,在三角形ABC中,角ACB是直角,角B=60度,AD,CE分别是角BAC,角BCA的平分线,AD与CE相交于点F,FG垂直于AB,FH垂直于BC,垂足分别为G,H.求证:FE=FD.
分析：①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N,连接BF,根据角平分线的性质,可得FM=FN,又由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,求得∠NEF=75°=∠MDF,又由∠DMF=∠ENF=90°,利用AAS,即可证得△DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD；
②过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N,连接BF,根据角平分线的性质,可得FN=FM,由∠ABC=60°,即可求得∠MFN=120°,∠EFD=∠AFC=120°,继而求得∠DFM=∠DFE,利用ASA,即可证得△DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N,连接BF,
∵F是角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠DAC=1 2 ∠BAC=15°,
∴∠CDA=75°,
∵∠MFC=45°,∠MFN=120°,
∴∠NFE=15°,
∴∠NEF=75°=∠MDF,
在△DMF和△ENF中,
∠DMF=∠ENF ∠MDF=∠NEF MF=NF ,
∴△DMF≌△ENF（AAS）,
∴FE=FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N,连接BF,
∵F是角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°,
∴四边形BNFM是圆内接四边形,
∵∠ABC=60°,
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°,
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-1 2 （∠ABC+∠ACB）=180°-1 2 （180°-∠ABC）=180°-1 2 （180°-60°）=120°,
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN,∠DFE=∠DFN+∠NFE,
∴∠DFM=∠NFE,
在△DMF和△ENF中,
∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFM=∠NFE
∴△DMF≌△ENF（ASA）,
∴FE=FD．