如图,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 16:10:46

如图,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.
如图,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.

如图,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.
过H作HK垂直AB,垂足为K
因为AM垂直GH,∠B=∠HKG=90°
则,∠AMB=∠HGK
又因为HK=AD=AB
所以△ABM≌△HKG
所以AM=GH=10cm

从D点作GH的平行线交AB于E点。显然四边形DEGH为平行四边形，则，DE=GH。而三角形DAE与三角形ABM全等。（根据角边角原理，角EDA=角MAB，DA=AB，角DAB=角ABC）故DE=AM=10cm。所以GH=10cm

过G作BC的平行线交CD于E
因为GE平行于BC
所以∠GEH=90°=∠ABC
因为ABCD是正方形
所以AB平行于DC，∠AGH=∠GHE.
所以GE=BC.
在三角形ABM和三角形GEH中
1、∠GEH=∠ABC
2、∠AGH=∠GHE
3、GE=BC
所以△ABM≌△GEH （AAS)
所以GH=AM=10

AM，BH交与O 连GM
角BAM等于角GMA
角GOM等于角B等于90°
所以三角形ABM相似于MOG
所以角GHC等于角AGH等于角MGH等于角AMB
作GE垂直DC与E
所以可证三角形GEH全等于三角形ABM
所以AM等于GH等于10

全部展开

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：把线段GH向下平移到BN，则BN=GH，BN⊥AM；
可以以正方形ABCD的中心为旋转中心，逆时针旋转90°，使Rt△ABM重合于Rt△BCN，
所以GH=BN=AM．
把线段GH向下平移到BN，则BN=GH，BN⊥AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=∠BEM=90°．
∴∠BAM=90°-∠AMB=∠CBN．
∴Rt△ABM≌Rt△BCN．
故可以以正方形ABCD的中心为旋转中心，逆时针旋转90°，使Rt△ABM重合于Rt△BCN，
∴GH=BN=AM=10cm．
也可以利用三角形全等来解．
点评：掌握正方形的性质，可利用旋转巧妙求解．

收起

过H作HE⊥AB于E，记AM与GH的交点为O。
∵∠EHG+∠EGH=90°；∠BAM+∠EGH=90°
∴∠EHG=∠BAM
又∵∠HEG=∠ABM=90°，HE=AB
∴△HEG ≌ △ABM（SAS）
∴GH=AM=10cm

过G作BC的平行线交CD于E

∵ ∠1＝∠2 (因为 HG⊥AM EG⊥AB ，角的两边对应垂直)

AB=GE

∴ △ABM≌△GEH （角边角）

所以 GH=AM=10

过G作BC的平行线交CD于E
因为正方形对边平行且相等，即AB平行CD
所以角GHC=角AGD
又所以角BAM=90度-角AGD，角DGC=90度-角GHC
所以角BAM=角DGC
然后根据全等三角形判定定理（AAS）即可

将△ABM绕点A逆时针旋转90°