已知函数f(x)=1/2x^2-aInx设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 20:57:13

已知函数f(x)=1/2x^2-aInx设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围
已知函数f(x)=1/2x^2-aInx
设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围

已知函数f(x)=1/2x^2-aInx设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围
g'(x)=x-a/x+2=(x^2+2x-a)/x
在[1,e]上不单调,则x^2+2x-a=0在[1,e]内有根
故a=x^2+2x=(x+1)^2-1
当x=1时,a最小为3
当x=e时,a最大为e^2+2e
即a为正数,故x^2+2x-a=0的两根积为负,即只有一正根在[1,e],因此这是极小值点
最大值必然为g(1)或g(e)
而g(1)=5/2,g(e)=1/2e^2-a+2e
由题意,有g(1)即a<1/2e^2+2e-5/2
所以a的取值范围是3=

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