作业帮设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:20:26
设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
先作代换 a=x^2/yz, b=y^2/zx, c=z^2/xy,等价于
∑xyz/(xyz+y^3+z^3)≤∑yz/(2yz+x^2)
x/∑x-xyz/(xyz+y^3+z^3)=x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
两边取和为
P=1-∑xyz/(xyz+y^3+z^3)=∑x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
x(y+z)/∑yz-[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]
=[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
两边取和为
Q=1-∑[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]=∑[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
只需证明Q≥P即可.
去分母得
左边=(1+a+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+c)
=3+4∑a+∑(a^2)+3∑ab
右边=(1+b+c)(1+a+b)(1+a+c)
=3+2∑a+∑(a^2)+3∑ab+∑ab(a+b)
欲证左边小于等于右边
只需证2∑a≤∑ab(a+b)=∑(a+b)/c
即2(a+b+c)≤(a+b)/c+(b+c)/a+(a+c)/b
即3≤(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c-2)
≥3*(3-2)=3(两个括号里分别用均值不等式）
Σ是求和懂吧.