作业帮若直线l：y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,（A,B不是左右顶点）,且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点坐标.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 23:10:09
若直线l：y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,（A,B不是左右顶点）,且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点坐标.
若直线l：y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,（A,B不是左右顶点）,且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点坐标.
若直线l：y=kx+m与椭圆x²/4+y²/3=1相交于不同的A,B两点,（A,B不是左右顶点）,且以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线l过定点,并求出该定点坐标.
看图
联立y=kx+m与x²/4+y²/3=1得
3x²+4(kx+m)²=12
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
设A(a,b),B(p,q)
则a+p=-8km/(3+4k²) ap=(4m²-12)/(3+4k²) ........(1)
由题...
全部展开
联立y=kx+m与x²/4+y²/3=1得
3x²+4(kx+m)²=12
(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0
设A(a,b),B(p,q)
则a+p=-8km/(3+4k²) ap=(4m²-12)/(3+4k²) ........(1)
由题意知：右顶点C(2,0)
因为以A,B为直径的圆过椭圆的右顶点
所以 向量AC点乘向量BC=0
(2-a,-b)(2-p,-q)=0
(2-a)(2-p)+qb=0
4-2(a+p)+ap+qb=0.........(2)
q=kp+m,b=ka+m
qb=k²ap+km(a+p)+m²......(3)
联立(1)(2)(3)得
(4k²+16km+7m²)/(3+4k²)=0
4k²+16km+7m²=0
(2k+m)(2k+7m)=0
m=-2k或者m=-2k/7
当m=-2k时，直线l:y=kx-2k=k(x-2),过定点(2,0),而(2,0)为椭圆右顶点，所以矛盾.
当m=-2k/7时，直线l:y=kx-2k/7=k(x-2/7),过定点(2/7,0).
收起