作业帮一道不定积分题怎么求这个不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:01:40
一道不定积分题怎么求这个不定积分
一道不定积分题
怎么求这个不定积分
一道不定积分题怎么求这个不定积分
开头可先用完全平方化简
原式=∫(x-2)√{[(x+2)^2]-3} dx
设x+2=√3 sect dx=√3sect tant dt
原式=∫(√3sect - 4) (√3tant)^2 sect dt
=3∫ (√3sect - 4) tant d(sect)
=3√3 ∫ sect tant d(sect) - 12∫ tant d(sect)
=3√3 ∫ (sec...
全部展开
原式=∫(x-2)√{[(x+2)^2]-3} dx
设x+2=√3 sect dx=√3sect tant dt
原式=∫(√3sect - 4) (√3tant)^2 sect dt
=3∫ (√3sect - 4) tant d(sect)
=3√3 ∫ sect tant d(sect) - 12∫ tant d(sect)
=3√3 ∫ (sect)^2 (tant)^2 dt - 12∫ sect (tant)^2 dt
=3√3 ∫ (sect)^4 dt - 3√3 ∫ (sect)^2 dt - 12∫ (sect)^3 dt -12∫sect dt
其中
∫(sec t)³dt
=∫(1/cos t)³dt
=∫cost/(cos t)^4 dt
=∫1/(1-sin²t)² d sin t
=∫1/(1-sint)²(1+sint)² d sin t
=1/4 ∫[1/(1-sin t) + 1/(1+sint)]² d sin t
=1/4∫[1/(1-sint)²+1/(1+sint)²+2/(1-sint)(1+sint)] d sin t
=1/4[1/(1-sint) - 1/(1+sint) - ln (1-sint) + ln (1+sint)] + C
=2tg t sec t + 1/4 ln (1+sint)/(1-sint) + C
∫sect dt
=∫sect(sect+tant)/(sect+tant) dt
=∫/(sect+tant)dt=∫d(tant+sect)
=ln|tant+sect|+C
∫(sect)^4 dt
设t=tanx 则dt=(secx)^2dx
(secx)^2=2/(cos2x+1)=2/[(1-t^2)/(1+t^2)+1]=t^2+1
则∫(secx)^4dx=∫(t^2+1)^2 dt
=(t^5)/5+(2/3)(t^3)+t+C
∫(sect)^2 dt=tant
则原式=(t^5)/5+(2/3)(t^3)+t -(3√3)tant - 24tan t sec t - 3 ln (1+sint)/(1-sint)
-12ln|tant+sect| + C
将t=arcsec[(x+2)/√3]代回原式
得…………
写不下去了。。。
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