作业帮线性代数一道题 求高人解答 就是花圈的第三题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:34:30
线性代数一道题 求高人解答 就是花圈的第三题
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分析（1） 在线性代数和矩阵论中,两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系.所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B.当A和B为同型矩阵时,A,B等价当且仅当r（A）=r（B）.所以,对于数域F上的n阶矩阵是否属于同一等价类,就是由矩阵的秩确定的.由此可得问题（1）的证明
证（1）因为同型矩阵A,B等价当且仅当r（A）=r（B）.而n阶矩阵的秩有且仅有0,1,2,---,n,这n+1种可能,所以Mn(F)按等价分类共有n+1类.
分析（2）：相似矩阵是指存在相似关系的矩阵.相似关系也是两个矩阵之间的一种等价关系,不过是一种特殊的等价关系.两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P,使得：B=P^(-1)AP.而对矩阵进行相似分类可从矩阵相似的一个性质入手.我们知道,相似的矩阵有相同的特征值,也就是说,特征值不同的两个n阶矩阵一定不相似.所以,当两个矩阵特征值不同时一定属于不同的相似类,由此不难得出（2）的证明.
证（2）：因为相似的矩阵有相同的特征值,所以,当两个矩阵特征值不同时一定属于不同的相似类.而在Mn(F)中,F中的数的个数是无限的,故一个n阶矩阵的特征值有无数种可能,所以Mn(F)有无数个相似类.