高二数学.高手请进~球过程~~很复杂.已知M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证：e=[sin(α+β)]/(sinα+sinβ)强烈求过程!~谢谢!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 08:32:09
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高二数学.高手请进~球过程~~很复杂.
已知M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是它的两个焦点,若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证：e=[sin(α+β)]/(sinα+sinβ)
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由椭圆定义,有：｜MF｜＋｜MF2｜＝2a,又｜F1F2｜＝2c,
∴e＝c/a＝（2c）/（2a）＝｜F1F2｜/（｜MF｜＋｜MF2｜）.······①
在△MF1F2中,由正弦定理,有：
｜F1F2｜/sin∠F1MF2＝｜MF1｜/sin∠MF2F1＝｜MF2｜/sin∠MF1F2,
∴｜F1F2｜/sin（180°－α－β）＝｜MF1｜/sinβ＝｜MF2｜/sin∠α,
∴｜F1F2｜/sin（α＋β）＝（｜MF｜＋｜MF2｜）/（sin∠α＋sinβ）,
∴｜F1F2｜/（｜MF｜＋｜MF2｜）＝sin（α＋β）/（sin∠α＋sinβ）.······②
①代入②中,得：e＝sin（α＋β）/（sin∠α＋sinβ）.

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