是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax平方-x)在区间[2,4]上是增函数?是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,a可取哪些值；若不存在,说明理由.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 19:25:56

是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax平方-x)在区间[2,4]上是增函数?是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,a可取哪些值；若不存在,说明理由.
是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax平方-x)在区间[2,4]上是增函数?
是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,a可取哪些值；若不存在,说明理由.

是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax平方-x)在区间[2,4]上是增函数?是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,a可取哪些值；若不存在,说明理由.
令t=√x,由x∈[2,4]知t∈[√2,2]
ax－√x＝at²－t
令f(t)=at²－t,由于a＞0且a≠1,所以对成轴t=1／2a＞0
当a＞1时,0＜1/2a＜1/2
f(t)在[√2,2]上单调递增,故只需保证at²－t＞0在t∈[√2,2]时成立即可,
所以只要最小值f（√2）＝2a－√2＞0就行了
a＞√2／2
与a＞1求交集知a＞1
当0＜a＜1时：要使原函数在[2,4]上增,则f(t)在[√2,2]上减
则对称轴1/2a≥2
a≤1/4
且最小值f(2)＝4a－2＞0
a＞1/2
交集为空集
综上知：a>1

a>1或0

假设存在这样的实数a。
显然a>0且a≠1
在区间[2,4]上，
t=ax-√x>0恒成立。.
当a>1时,
f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数
loga t在R+上是增函数
t=ax-√x
=a(√x-1/2a)^2-1/4a
在[2,4]上是增函数，
对称轴x＝1/(4a^2)≤2。

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假设存在这样的实数a。
显然a>0且a≠1
在区间[2,4]上，
t=ax-√x>0恒成立。.
当a>1时,
f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数
loga t在R+上是增函数
t=ax-√x
=a(√x-1/2a)^2-1/4a
在[2,4]上是增函数，
对称轴x＝1/(4a^2)≤2。
a≥√2/4
∴a>1
当0f(x)=loga(ax-√x)在区间[2,4]上是增函数
loga t在R+上是减函数
t=ax-√x
=a(√x-1/2a)^2-1/4a
在[2,4]上是减函数，
对称轴x＝1/(4a^2)≥4。
a≤1/4
∴0综上所述
a∈（0，1/4]∪(1,+∞)。

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