﹛an﹜的通项公式为an=n-√1＋n²,判断该数列单调性

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 19:38:32

﹛an﹜的通项公式为an=n-√1＋n²,判断该数列单调性
﹛an﹜的通项公式为an=n-√1＋n²,判断该数列单调性

﹛an﹜的通项公式为an=n-√1＋n²,判断该数列单调性
用作差法
a(n+1)-an=（n+1）-√(1+(n+1)²)-n+√(1+n²)
=1+√(1+n²)-√(1+(n+1)²)
=1+[√(1+n²)-√(1+(n+1)²)]/1
进行分子有理化
=1+[√(1+n²)-√(1+(n+1)²)] [√(1+n²)+√(1+(n+1)²)]/ [√(1+n²)+√(1+(n+1)²)]
=1-(2n+1)/ [√(1+n²)+√(1+(n+1)²)]
通分得
= [√(1+n²)+√(1+(n+1)²) -(2n+1)] / [√(1+n²)+√(1+(n+1)²)]
显然√(1+n²)>n,√(1+(n+1)²)>n+1,
所以√(1+n²)+√(1+(n+1)²) -(2n+1)>0,
所以a(n+1)-an>0,
a(n+1)>an
所以an是单调递增

用作差法
an-a(n-1)=√(1＋(n-1)²)-√(1＋n²)+1 假设这个大于0
那么移项得√(1＋(n-1)²)+1>√(1＋n²)
两边平方
得1+1+(n-1)^2+2√(1＋(n-1)²)>1+n^2
然后就是合并同类项
把根号保留在左边,其它移到右边
得到√(1＋(n-1)...

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用作差法
an-a(n-1)=√(1＋(n-1)²)-√(1＋n²)+1 假设这个大于0
那么移项得√(1＋(n-1)²)+1>√(1＋n²)
两边平方
得1+1+(n-1)^2+2√(1＋(n-1)²)>1+n^2
然后就是合并同类项
把根号保留在左边,其它移到右边
得到√(1＋(n-1)²)>n-1这个等式对于n>1都是恒成立的..因为√(1＋(n-1)²)>√(n-1)^2=n-1
所以这个数列为增数列
事实上因为题目已经说它有单调性了
所以只要代入n=1和2进行比较
a1=1-根号2
a2=2-根号5
用计器算下就知道a2>a1
所以是增数列

收起

1/an-an=2√n 且an>0 求an的通项公式 ﹛an﹜的通项公式为an=n-√1＋n²,判断该数列单调性 an的通项公式为an=3n-1/2n+1,要使得|an-3/2| 已知数列｛an｝的通项公式为an=(3n-2)/(3n+1)求证：0< an 数列﹛an﹜的通项公式为an=(n+1)/2,n 为奇数,-n/2,n为偶数;则﹛an﹜的前100项的和等于已知数列(an)通项公式an=(6n)-5(n为偶数)an=4^n(n为奇数),求(an)的前n项和一直数列{an}的通项公式an=1/√n+√n+1 ,若它的前n项和为10,则项数n为? 数列{an}的通项公式是an=1/[√n+√(n+1)],若前n项和为10,则项数n为? 已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=2an/（an+2）（n∈N+）,则数列｛an｝的通项公式为已知数列{an}满足a1=1,且an=1/3a(n-1)+(1/3)^n (n≥2,且n∈N+),则数列{an}的通项公式为A.an=3^n/(n+2) B.an=(n+2)/3^n C.an=n+2 D.an=(n+2)3^n 设数列｛an｝的通项公式为an=n2+λn(n∈N*)且｛an｝满足a1 已知数列an的通项公式为an=1/(n(n+1)(n+2)),求数列an的前n项和Sn 已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)(9/10)^n,是否存在自然数m,使对一切的n属于N,an 已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)(9/10)^n,是否存在自然数m,使对一切的n属于N,an 已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn,a1=1,且2nSn+1－2(n+1)Sn=n²+n(n∈N*)求数列﹛an﹜的通项公式已知数列{An}的通项公式为An=(2*3^n+2)/(3^n-1) (n∈N*)设m、n、p∈N*,m 高二一道数列题数列{An}的通项公式An=1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(n+n),求证{An}为递增数列数列{an}的通项公式为an=an-1+2n,a1=2,求{an}的通项公式an.急用!