作业帮已知a,b为整数且9整除（a的平方+ab+b的平方）求证：3整除a,整除b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:46:44
已知a,b为整数且9整除（a的平方+ab+b的平方）求证：3整除a,整除b
已知a,b为整数且9整除（a的平方+ab+b的平方）求证：3整除a,整除b
已知a,b为整数且9整除（a的平方+ab+b的平方）求证：3整除a,整除b
利用排除法.任何一个整数都能表示成 3k、3k＋1、3k－1 中的一种（k为整数）.
于是,当a、b不全被3整除时：
一、设a＝3m、b＝3n＋1.其中m、n都是整数.则：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n＋1）＋9n^2＋6n＋1.
显然,能被9整除的数一定能被3整除.
∴1也能被3整除.
这自然是错误的,∴a＝3m、b＝3n＋1的假设是错误的.
二、考虑到a、b的对称性,显然,a＝3m＋1、b＝3n也是错误的.
三、设a＝3m、b＝3n－1.其中m、n都是整数.则：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n－1）＋9n^2－6n＋1.
显然,能被9整除的数一定能被3整除.
∴1也能被3整除.
这自然是错误的,∴a＝3m、b＝3n＋1的假设是错误的.
四、考虑到a、b的对称性,显然,a＝3m－1、b＝3n也是错误的.
五、设a＝3m＋1、b＝3n＋1.其中m、n都是整数.则：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋9（m＋n）＋9n^2＋2.
∴2能被9整数.
这自然是错误的,∴a＝3m＋1、b＝3n＋1的假设是错误的.
六、设a＝3m＋1、b＝3n－1.其中m、n都是整数.则：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋3（m－n）＋9n^2＋1.
显然,能被9整除的数一定能被3整除.
∴1也能被3整除.
这自然是错误的,∴a＝3m＋1、b＝3n－1的假设是错误的.
七、考虑到a、b的对称性,显然,a＝3m－1、b＝3n＋1也是错误的.
八、设a＝3m－1、b＝3n－1.其中m、n都是整数.则：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9n^2＋9mn－9（m＋n）＋3.
∴3能被9整除.
这自然是错误的,∴a＝3m－1、b＝3n－1的假设是错误的.
综上所述,得：a、b都能被3整除.
如果3不整除a则，显然3不整除b。（反之亦然）
假设a=3k+s b=3m+t ｜s|=|t|=1
则原式＝9k^2+9m^2+6ks+6mt+s^2+t^2 除以3余数＝2, 与原式是9倍数矛盾
所以a ,b都是3的倍数