作业帮关于复数多项式函数的一道证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:39:18
关于复数多项式函数的一道证明题
关于复数多项式函数的一道证明题
关于复数多项式函数的一道证明题
考虑函数g(z)=Pn(1/z)z^n.则g在复平面解析,g(0)=1.对g用最大模原理就能得到你想要的
楼上的证明是错的，其未证明最值可取到。我给出一个复分析的证明，证明如下：
令z=cosx+i*sinx
P(z)=z^n+p(n-1)z^(n-1)+p(n-2)z^(n-2)+...+p1z+p0
=cosnx+isinnx+p(n-1)cos[(n-1)x]+ip(n-1)sin[(n-1)x]+...+p1cosx+ip1sinx+p0
=[cosnx+p(n-1)cos(n-1)x+...+p1cosx+p0]+i[sinnx+p(n-1...
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令z=cosx+i*sinx
P(z)=z^n+p(n-1)z^(n-1)+p(n-2)z^(n-2)+...+p1z+p0
=cosnx+isinnx+p(n-1)cos[(n-1)x]+ip(n-1)sin[(n-1)x]+...+p1cosx+ip1sinx+p0
=[cosnx+p(n-1)cos(n-1)x+...+p1cosx+p0]+i[sinnx+p(n-1)sin(n-1)x+...+p1sinx]
|P(z)|^2=[cosnx+p(n-1)cos(n-1)x+...+p1cosx+p0]^2+[sinnx+p(n-1)sin(n-1)x+...+p1sinx]^2
根据均值不等式：(a1+a2+...+an)^2<=n*(a1^2+a2^2+...+an^2)
|P(z)|^2<=(n+1)*[(cosnx)^2+p(n-1)^2(cos(n-1)x)^2+...+p1^2(cosx)^2+p0^2+(sinnx)^2+p(n-1)^2(sin(n-1)x)^2+...+p1^2(sinx)^2]
=(n+1)[1+p(n-1)^2+...+p1^2+p0^2]
当且仅当cosnx=p(n-1)cos(n-1)x=...=p1cosx=p0、sinnx=p(n-1)sin(n-1)x=...=p1sinx时，等号成立
所以max|P(z)|=√(n+1)*√[1+p(n-1)^2+...+p1^2+p0^2]
>=√(n+1)*√(1)
>=1
原题的证
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