如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 05:14:11
如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?

如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?
如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?
肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?

如果一个矩阵满足A^2+4A+3I=0则这个矩阵的特征值是多少?肯定有人说是-1和-3,但是-1和-3都是特征值呢,还是不能确定呢?
显然t^2+4t+3=0是矩阵A的化零多项式,如果它是次最小化零多项式,则它就是A的最小多项式,此时它的两个根-1和-3均是A的特征值,否则由最小多项式能整除任何化零多项式以及t^2+4t+3=(t+1)(t+3),它的最小多项式一定是t+1或是t+3其中之一,如果是前者A的特征值是-1,如果是后者A的特征值是-3,
设f(A),g(B)是任意矩阵多项式,一般来说由f(A)g(B)=O,不能得到f(A)=0或g(B)=O,这是因为矩阵环不是整环,两个非零的矩阵的乘积可以是零矩阵.但是对本题上述的分析由A^2+4A+3I=(A+I)(A+3I)可得A+I=O或A+3I=O,但不一定两个同时成立,也即-1和-3两者至少有一个是A的特征值,但不一定全是.如A=-I,(-I)^2-4I+3I=0.但A仅有一个-1的特征值.

不能确定。就像(x+1)(x+3)=0一样，只能说x可能是-1或者-3。这里可以说特征值可能是-1或者-3或者同时包含-1以及-3。但是具体哪一种不能确定——想想有那么多矩阵就知道了！

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