设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 01:03:13

设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0
设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0

设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|0
我在百度文库搜到的定理是：
设(X,Y)为二维连续型随机变量,则X与Y相互独立的充分必要条件为f(x,y)=fx(x)*fy(y)在一切连续点上.其中f(x,y)为联合概率密度,fx(x)、fy(y)为边缘概率密度.
∵二元随机变量（x,y）在D内服从均匀分布.
不妨设二元随机变量（x,y）的概率密度为ψ(x,y) = c (c为常数)
则分布函数为
F(x,y) = ∫∫c*dxdy （积分区域D为0＜x＜1,0＜y＜x）
= ∫【cy|(0→x)】dx
= ∫(cx)dx
= (cx²/2)| (0→1)
= c/2 = 1 （这是分布函数的性质,定积分的值为1）
∴c = 2
现分别求x、y的边缘概率密度
ψx(x) = ∫2dy （积分区域：0＜y＜x）
= 2y | (0→x)
= 2x - 2*0 = 2x
ψy(y) = ∫2dx （积分区域：0＜x＜1）
= 2x | (0→1)
= 2*1 - 2*0 = 2
∴ψx(x) * ψy(y) = 2x*2 = 4x,而联合概率密度ψ(x,y) = 2
当且仅当 x=1/2时,ψx(x) * ψy(y) = ψ(x,y)
显然,ψx(x) * ψy(y) = ψ(x,y) 不能保证在D={(x,y)|0

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