已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 23:42:32

已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1
已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1

已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1
这个题不错,比较巧.
首先有均值不等式有yz≤(y^2+z^2)/2,zx≤(z^2+x^2)/2,xy≤(x^2+y^2)/2
所以,x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥2[x^2/(y^2+z^2)+y^2/(z^2+x^2)+z^2/(x^2+y^2)]/3
分析可知x^2/(y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)/(y^2+z^2)-1,同理y^2/(z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)/(z^2+x^2)-1,z^2/(x^2+y^2)=(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2)-1
代入上面不等式右端化简有：
x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)
≥2{(x^2+y^2+z^2)[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]-3}/3
=[(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)]*[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]/3-2
≥(1+1+1)^2/3-2=9/3-2=1
当且仅当x=y=z=1时取“=”,得证.
本题既用了均值,又用了构造,还用了柯西（这都是最后一步了）,此命题比较容易放缩过量,不能一来就找柯西.感觉有点儿像高中数学竞赛题.如果要弄竞赛的话,建议看看Schur不等式,那个很是王道,大学本科都不要求的,但对于高中数学竞赛专治各种不服,CMO都适用.

已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1 已知x,y,z∈R+,且x+2y+3z=3,.则xyz的最大值是_____. 已知X,Y,Z∈R,且X+Y+Z=1,求证X2+Y2+Z2≥1/3 已知X,Y,Z∈R+,且1/X+2/Y+3/Z=1.求X+Y/2+Z/3的最小值已知x,y,z∈ R,x+2y=z+6,x-y=3-2z,求x^2+y^2+z^2的最小值. 请教：已知x、y、z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是多少已知x、y、z∈R,且x+y+z、x+y-z、x-y+z、-x+y+z成等比数列,公比为q,则q^3+q^2+q的已知x,y,z∈R,且x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,求证:4/3≤x≤3,4/3≤y≤3,4/3≤z≤3 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=8,xyz=5,求证：x,y,z中至少有一个小于1. 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=8,xyz=5,求证：x,y,z中至少有一个小于1 已知X,Y,Z属于R+ ,且X+2Y+3Z=3,则XYZ的最大值不等式计算已知x、y、z∈R+,且x^2+y^2+z^2=1,则yz/x+zx/y+xy/z的最小值是不等式的已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证√x+√y+√z 已知x,y,z∈R+,且满足x+y+z=1,求1/x+4/y+9/z的取值范围已知 (x+y-z)/z=(x-y+z)/y=(y+z-x)/x,且xyz≠0,求代数式 ((x+y)(y+z)(x+z))/xyz 已知复数z=x+yi,(x,y∈R),且|z+2|=√3,则(y-2)/(x-3)的最大最小值已知复数z=x+yi,(x,y∈R),且|z-2|=√3,则y／x的最大值为? 已知复数z=x+yi,(x,y∈R)且|z-2|=√3,则y/x的最大值是多少