作业帮已知x+y=根号2sin(α+π/4),x-y=根号2sin(α-π/4),求证x²+y²=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:23:37
已知x+y=根号2sin(α+π/4),x-y=根号2sin(α-π/4),求证x²+y²=1
已知x+y=根号2sin(α+π/4),x-y=根号2sin(α-π/4),求证x²+y²=1
已知x+y=根号2sin(α+π/4),x-y=根号2sin(α-π/4),求证x²+y²=1
联立方程
x+y=根号2sin(α+π/4)
x-y=根号2sin(α-π/4)
解得：x=(根号2/2)*(sin(α+π/4)+sin(α-π/4)),y=(根号2/2)*(sin(α+π/4)-sin(α-π/4))；
由三角和差化积公式得：sin(α+π/4)=sinα*cos(π/4)+cosα*sin(π/4),sin(α-π/4)=sinα*cos(π/4)-cosα*sin(π/4)；
故sin(α+π/4)+sin(α-π/4)=2*sinα*cos(π/4)=根号2*sinα；
sin(α+π/4)-sin(α-π/4)=2*cosα*sin(π/4)=根号2*cosα；
代入x,y可得：x=sinα,y=cosα；
所以,x²+y²=sin²α+cos²α=1.
∵x+y=√2sin(α+π/4),x-y=√2sin(α-π/4),
∴x²+2xy+y²=2sin²(α+π/4),x²-2xy+y²=2sin²(α-π/4),
两式相加，得：
2（x²+y²）=2sin²(α+π/4)+2sin²(α-π/4),
...
全部展开
∵x+y=√2sin(α+π/4),x-y=√2sin(α-π/4),
∴x²+2xy+y²=2sin²(α+π/4),x²-2xy+y²=2sin²(α-π/4),
两式相加，得：
2（x²+y²）=2sin²(α+π/4)+2sin²(α-π/4),
x²+y²=sin²(α+π/4)+sin²(α-π/4),
=[sinαcosπ/4+sinπ/4cosα]²+[sinαcosπ/4-sinπ/4cosα]²
=sin²α+cos²α=1
收起
x+y=根号2sin(α+π/4),x-y=根号2sin(α-π/4),
(x+y)^2=2sin^2(α+π/4),(x-y)^2=2sin^2(α-π/4),
两式相加得
2x^2+2y^2=2sin^2(α+π/4)+2sin^2(α-π/4)=2
x²+y²=1