作业帮设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足A不是B的子集且B也不是A的子集.若M=【a1,a2,a3...,an】,求所有不同的有序集合对（A,B）的个数.感激不尽
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:43:28
设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足A不是B的子集且B也不是A的子集.若M=【a1,a2,a3...,an】,求所有不同的有序集合对（A,B）的个数.感激不尽
设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足A不是B的子集且B也不是A的子集.若M=【a1,a2,a3...,an】,求所有不同的有序集合对（A,B）的个数.感激不尽
设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足A不是B的子集且B也不是A的子集.若M=【a1,a2,a3...,an】,求所有不同的有序集合对（A,B）的个数.感激不尽
首先可以知道A和B都不可能为空集,也不能为全集.
所以 A b 的元素个数在 1到 N－1
用A来分析：
1.A只有1个元素时,有N种情况；
B有(N-1)/1 + (N-1)/2 + (N-1)/3 +---- + (N-1)/(n-1)
2.A只有2个元素时,有 N/2种情况；
B有（ (N-2)/1 + (N-2)/2 + (N-2)/3 +---- + (N-2)/(n-2) ）*（2/1 + 2/0）;
3.A只有3个元素时,有 N/3种情况；
B有（ (N-3)/1 + (N-3)/2 + (N-3)/3 +---- + (N-3)/(n-3) ）*（3/2 + 3/1 + 3/0）;
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n.A只有n-1个元素时,有 N/N-1种情况；
B有（ 1/1 ）*（N-1/n-2 + N-1/n-3 + ------ N-1/0）;
可以看出规律：
Ak ＝ N／k ＊ （N－K／1＋N－K／2＋ －－－－－ N－K／N－K）＊（K／0 ＋ －－－－K／K －1 ）
Ak ＝ N／k ＊（2～（N－K）－1）＊（2～K－1）
＝ N／k ＊ （2～N ＋ 1） － N／K＊2～（N－K） － N／K＊2～K
因为N／K ＝ N／N－K
所以 N／K＊2～（N－K） ＝ N－K／2～（N－K）
Ak进一步简化：
Ak ＝ N／k ＊ （2～N ＋ 1） － N／K＊2～（N－K） － N／K＊2～K
＝ N／k ＊ （2～N ＋ 1） － 2＊ N／K ＊ 2～K
对数列Ak 分开求和：
已知 K：（1－－－ N－1）
N／K的和为： 2～N－2
所以N／K ＊ （2～N ＋ 1）的N－1项和为：
（2～N－2） ＊ （2～N ＋ 1）
＝ 4～N － 2～N － 2
2 ＊ N／K ＊ 2～K 的和为：
2＊（（1＋2）～N － 1 － 2～N）
＝ 2＊3～N －2 － 2＊2～N
所以Ak 的和为：
4～N －2＊3～N ＋ 2～N
故 （A,B）个数为： 4～N －2＊3～N ＋ 2～N